Induksi Matematika

Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah
pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian dengan
cara ini terdiri dari dua langkah, yaitu:
1. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.
2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n,
maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n + 1.
Misalkan akan dibuktikan suatu pernyataan bahwa jumlah n bilangan asli
pertama, yaitu 1+2+:::+n, adalah sama dengan n(n+1)/2. Untuk membuktikan
bahwa pernyataan itu berlaku untuk setiap bilangan asli, langkah-langkah
yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas
sekali bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah 1(1+1)/2 = 1. Jadi
pernyataan tersebut adalah benar untuk n = 1.

2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka
pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Hal ini bisa dilakukan
dengan cara:



Dengan demikian



Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

3. Dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut
berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Secara formal Induksi Matematika ini bisa didefinisikan sebagai berikut:

Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang
bisa benar atau salah. Misalkan
1. P(1) benar.
2. Jika P(n) benar, maka P(n + 1) benar.
Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.
Langkah 1 disebut dengan Langkah Dasar, sedangkan Langkah 2 disebut
dengan Langkah Induktif.
Jika pada Langkah Induktif yang diasumsikan adalah pernyataan P(i) benar
untuk setiap bilangan i lebih kecil sama dengan n, maka perumusan induksi matematika sepertiini disebut Bentuk Kuat Induksi Matematika.

Referensi
1. R. Johnsonbaugh, Discrete Mathematics, Fourth Edition, 1997, Prentice
Hall.
2. Wikipedia, Mathematical induction,
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical induction

untuk lebih lengkapnya mengenai induksi matematika dapat mengunjungi beberapa link dibawah ini:

http//alumnusm2m.com/files/01_induksi_matematika_2.pdf

http://id.wikipedia.org/wiki/Induksi_matematika

http://swelandiah.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/12920/Pertemua+ke+VI.doc

1. Basis Step --> S (1 ) = benar
2. Inductive Step --> S ( k ) = S ( k + 1 ) = benar
3. Conclusion

Soal: 4 pangkat [n] – 1 habis dibagi 3 untuk setiap bilangan bulat positif n >= 1

Jawab :
1. Basis Step
s (1 ) = benar
s (n) = s (1)
n = 1
maka 4 pangkat [n] – 1 = 4 pangkat [1] – 1 = 3 habis dibagi 3

2. Inductive Step
s (k) = benar
s (n) = s (k)
n = k
4 pangkat [n] – 1 = 4 pangkat [k] – 1 --->(1)

s (k + 1) = benar
s (n) = s (k + 1)
n = k + 1
-->4 pangkat [n] – 1 = 4 pangkat [(k + 1 )] – 1 = 4 pangkat [k] . 4 – 1
= 4 . 4 pangkat [k] – 1. ---->(2)
= 3 . 4 pangkat [k] + 4 pangkat [k] – 1 habis dibagi 3

Maka s (k) = s (k + 1) benar